Mathématiques de l’économiste


Les méthodes sont nombreuses et variées. La plus courante (et la première à avoir été utilisée) est le calcul différentiel (dérivées, différentielles, extrema, multiplicateur de Lagrange, etc..) s’utilise pour les relations entre variables économiques, les comportements des agents économiques, l’équilibre économique (partiel ou général), le problème du bien-être social et les échanges internationaux.
Par ailleurs, des applications plus précises des mathématiques sont requises : matrice de coefficients techniques pour les équilibres, recherche opérationnelle (partie de la théorie d’optimisation) pour la gestion, théorie des jeux pour les relations entre plusieurs décideurs, statistiques pour l’économétrie.
1. Historique
Les premiers instruments apparaissent peu après le développement de la théorie économique classique (Smith et Ricardo), mais sans lien avec elle. Cournot, mathématicien, philosophe et économiste, introduit la fonction de demande (1838) pour étudier la structure des marchés (monopole, oligopole, concurrence parfaite), l’équilibre de Cournot de l’oligopole étant une notion essentielle de la théorie de concurrence imparfaite.
Leon Walras, non reconnu en France et qui a dû enseigner à Lausanne, établit les fondations de l’équilibre général concurrentiel ( 1874) L’utilité marginale (Jevons et Menger, même époque) se précise avec l’introduction des courbes d’indifférence et la notion d’utilité ordinale (1880-1900 : Edgeworth, I.Fischer, Pareto). Pareto définit l’optimalité de l’équilibre concurrentiel par l’impossibilité d’améliorer la situation d’un des agents sans déteriorer celle d’un autre. Mais il faudra plusieurs décennies pour eclaircir la stabilité de l’équilibre général (le tâtonnement walrasien) et les conditions de son existence. Entre 1900 et 1945, l’approche de l’équilibre partiel (Marshall, Pigou) prend le dessus et la révolution keynésienne rejette la conception néo-classique de l’économie comme science pure. Le refus du formalisme scientifique provenant du 19ème s. s’accompagne en fait d’un élargissement de l’utilisation des mathématiques mais de manière plus simple. C’est l’époque des premières études dynamiques grâce aux équations différentielles (Ramsey, Hotelling), le développement de la théorie des jeux et la construction d’un modèle de croissance par VON NEUMANN, la première démonstration rigoureuse de l’équilibre général (WALD, 1934), l’envol de l’économétrie, le renouveau de la théorie néo-classique avec HICKS en 1939 et ALLAIS en 1948 suivis par SCHUMPETER, CASSEL, LANGE).
L’économie formalisée connaît un essor prodigieux après-guerre, surtout aux Etats-Unis. Le prix nobel d’Economie, créé en 1969, revenant le plus souvent à des économistes mathématiciens. En France, le mouvement est par la suite relativement suivi (MALINVAUD, BOITEUX, MASSÉ) mais le clivage entre universités et écoles subsiste.
Les mathématiques offrent un outil pratique à l’économiste, mais jamais suffisant.
2. Un choix et ses raisons
Les mathématiques de base de l’économiste comportent le calcul différentiel et le calcul matriciel qui sont utilisés selon que les coefficients techniques variables ou fixes, ou simultanément.
L’étude statique comparative du modèle IS-LM est une utilisation du théorème des fonctions implicites (dérivées=qd une fonction dépend d’1 facteur et différentielles=qd une fonction dépend de plusieurs facteurs), l’hypothèse étant faite qu’il existe un équilibre.
Y= C(Y)+I(r)+G et M= L(Y,r)             (Y est la production globale)
Sous l’hypothèse d’une propension marginale à consommer C’<1, on en déduit qu’un accroissement de G ou de M induit un accroissement de Y. Sous une autre hypothèse de politique économique= l’offre de monnaie n’est plus fixée mais s’ajuste pour maintenir un taux d’intérêt constant, l’investissement est fixé et on retrouve le multiplicateur keynésien : dY/dG= 1/(1-C’).
Les problèmes d’optimisation, très employés en gestion (et en économie, p.e. comportement du producteur ou du consommateur) consistent à maximiser un gain ou minimiser un coût sous contraintes. Problème résolu par l’introduction d’un multiplicateur pour chaque contrainte et l’application du théorème des fonctions implicites.
 Conclusion sur l’intérêt des mathématiques et en particulier de la formalisation en économie.


11 Méthodes statistiques de l’économiste (J MAIRESSE & P. TASSI)
Dès le 18ème s., la statistique a servi d’instrument d’arithmétique politique, pour des analyses démographiques ou économiques (recherche de lois de comportement). Les mathématiques et les probabilités permettent une avancée importante de la statistique (Laplace, Gauss, Fourier, Quetelet, Poisson, K. Pearson, Galton..) mais c’est au début du 20ème s. que l’ensemble devient cohérent (R. Fischer, E. Pearson, J. Neyman) et enfin avec la création de la revue Econometrica (R. Frisch), dont le but ambitieux est de faire avancer la théorie économique dans ses rapports avec les statistiques et les mathématiques.
1 La description des données
La représentation des données peut être sous formes de tableaux, en cartographie, en histogramme (A. Guerry, 1833, Pyramide des âges : F.WALKER 1874) ou sous nombre d’autres formes.
Les indicateurs synthétiques sont la moyenne arithmétique, la médiane, la moyenne géométrique et harmonique? (Jevons, 1874) et les indicateurs de dispersion : écart-type (Gauss, 1816), coefficient de corrélation.
Les nombres-indices ont été créé pour répondre au besoin de résumer par un seul nombre la variation d’un ensemble de prix entre deux dates, l’étude du NGP, et parallèlement du pouvoir d’achat, est toujours un domaine d’application essentiel. Le problème statistique est difficile quand on doit concevoir un outil non pas pour un bien défini et homogène mais pour un ensemble de biens. A partir des indices de Laspeyres et Paasche, il est habituel de construire de indices-chaînes qui traduisent les évolutions de date en date.
Les méthodes d’asd ont été inventées depuis longtemps (K. PEARSON, 1901 puis H. HOTTELING, 1933) mais développées récemment grâce à la puissance des ordinateurs.

2 L’inférence statistique

Les méthodes de la statistique inférentielle se fondent sur la théorie des probabilités.
Le multiplicateur des naissances (estimation de la population future) provient de l’école anglaise d’arithmétique politique du 17ème s mais Laplace introduit la statistique inférentielle en 1785.
Le chômage de longue durée est appréhendée par la méthode du maximum de vraisemblance, introduite par R. Fisher au début du 20ème s. Pour distinguer les plus profitables entre des entreprises investissant dans la recherche et les autres, on utilise le test de Student.

3. L’analyse des séries temporelles

Trouvant sa source en astronomie, elle occupe en statistique une place importante et originale. L’économiste anglais W. Playfair publie en 1786 les premières représentations graphiques de séries temporelles, ce qui fut rapidement complété par les analyses de Lagrange et surtout de Fourier. Formalisé au début du 20ème s. par W. PEARSONS et parallèlement les modèles stochastiques de type autorégressif sont introduits par Yule (1927) repris par les développements récents de l’analyse temporelle de G. BOX et G. JENKINS (1970), les objectifs sont la description en termes de tendance et de saisonnalité, la modélisation de type auto-régressif ou économétrique, la prévision. On retient principalement les méthodes des moyennes mobiles et les modèles ARIMA (servent principalement à la prévision mais favorisent aussi la compréhension structurelle et l’explication).

4. Les méthodes de l’économétrie

L’économétrie établit les lois économiques, en teste l’existence et la stabilité, en estime la forme et les paramètres. Il est inévitablement approximatif, les variables omises étant qualifiées de perturbations de nature aléatoire, ce qui permet de recourir aux méthodes de la statistique inférentielle. L’économétrie a commencé à être autonome (en se dégageant de l’économie et de la statistique) dans la 1ère moitié du 20ème s. : méthode des moindres carrés (encore la plus employée) évoquée par LEGENDRE en 1805 et développée par GAUSS en 1809, régression linéaire (modèle de base en économétrie) imaginée par GALTON en 1886, 1ers travaux d’économétrie dans les années 1910-1930 avec H. MOORE, H. WRIGHT, H. SCHULTZ et les 2 frères WORKING (surtout aux EU, et surtout problèmes d’estimation de fonctions d’offre et de demande de produit agricoles), 1er prix nobel d’économie en 1969 pour R. FRISCH et J. TINBERGER en tant que pères fondateurs de l’économétrie, en 1980 pour L. KLEIN, en 1989 pour T. HAAVELMO.
Exemples d’utilisation de l’économétrie : estimation d’une fonction de production, COBB-DOUGLAS (1928), économétrie des panels.

Conclusion : La statistique, en tant que méthode, est devenue indispensable aux économistes mais elle est utile dans d’autres domaines, ce qui lui confère un statut de science transversale. Comme toute science transversable, elle peut diffuser certains acquis d’une discipline dans une autre.

 

SciencesEconomiquesl.com - Tous droits réservés